엄마표 학습 - 수학공부전략 1 개념과 원리에 집중

완전학습 방법은 모두 근본적으로 비슷합니다만 과목 별로 약간의 차이가 있는데요. 왜냐하면 과목에 따라 학문적 특성이 다르기 때문입니다. 오늘은 과목 별로 어떤 점에 유의하여야 하는지 살펴보겠습니다.

모든 과목 중에서 학부모님들이 사교육에 가장 휘둘리는 과목이 수학이라고 합니다. 수학은 과목들 중에 난이도가 가장 높습니다. 그래서 엄마표 영어는 성공사례가 많아도 엄마표 수학은 성공했다는 이야기를 듣기 어렵습니다. 중학교 과정 정도만 되어도 엄마가 수학 관련 전공자가 아닌 이상 섣불리 가르치기도 어렵습니다. 물론 엄마표 학습에서는 엄마가 아이에게 학습내용을 가르치는 개념이 아니라는 점 기억하실 것입니다. 수학은 고등학교 2학년 쯤에 학생들 60%가 아예 공부하는 것을 포기하는 과목이기도 합니다. 그렇다고 나머지 40%는 수능 전까지 완전학습을 해가느냐하면 그것도 아닙니다. 학생들 중 약 10%만 시험 범위의 수학 진도를 끝내고 가기 때문에 학생들 대다수가 실패를 경험하고 좌절을 겪게 만드는 과목이 바로 수학입니다. 학생들 대다수가 실패를 경험하는 과목을 왜 배워야 할까요 ? 학창시절에 수학 공부에 실패했다는 좌절의 경험은 성인이 되어서도 마치 악몽처럼 따라다닐 수 있는데요. 심지어 결혼하고 부모가 된 후에도 안좋은 영향을 미칠 수 있습니다.

많은 학부모님들이 걱정합니다. 자기는 학창 시절에 수학을 못했는데 수학 못한 자기 머리를 아이가 닮을까봐 심히 걱정된다고 합니다. 언론에서도 얼마 전 수학교육의 문제점을 지적하면서 대중의 관심을 이끌어냈지만 금새 흐지부지 사그라들었습니다. 그래서 여전히 수학을 포기하는 아이들이 늘 60%정도 나올 것이라는 현실에는 변함이 없습니다. 수학교육은 언제나 이렇게 실패해왔는데 왜 바뀌지 않을까요 ? 예를들어 수학공부하기 싫으면 학교에서 수학 안 배우고 다른 것을 배우면 되지 않을까요 ? 그러나 이것을 허용해 줄 수 없습니다. 왜냐하면 우리나라 교육의 중요한 역할 중 하나는 선발에 있기 때문입니다. 평가를 통한 예쁜 정규분포 곡선을 만들어내는 것이 교육부의 중요한 과제이기 때문에 수학 과목을 그대로 둘 것입니다. 수학 과목만큼 공부 잘하는 학생과 못하는 학생을 변별하기 수월한 과목이 또 없습니다. 따라서 이런 교육 환경에 잘 적응할 수 밖에 없는데 수학공부 방법을 잘 이해하고 초등 시절부터 수학공부를 학습결손 없이 잘 해낼 수 있도록 도와주어야 합니다.

그럼 지금부터 5가지 수학 완전 학습 전략에 대해 알아보겠습니다. 이 전략들을 잘 이해하고 활용한다면 어느 순간 '아! 수학은 이렇게 공부하는 것이구나.'하는 느낌을 받을 수 있을 것입니다. 첫째, 문제풀이가 아닌 개념과 원리에 집중한다. 둘째, 공식 성립 원리에 집중한다. 셋째, 숫자 감각을 훈련한다. 넷째, 유의미화 전략 2가지를 활용한다. 다섯째, 조직화 전략을 활용한다.

수학공부에 대해 많이 착각하는 사실 하나는 문제풀이를 많이 해야한다고 생각하는 점입니다. 수학을 잘하려면 문제풀이가 일정 부분 필요한 것은 사실이지만, 문제풀이 자체가 수학 실력을 높여주지 않는다는 것을 이해할 필요가 있습니다. 문제풀이는 개념이해를 더 완전하게 하도록 도와주는 역할을 할 뿐이지 수학실력 자체를 향상시키는데 직접적인 역할을 하는 것은 아니기 때문입니다. 동일한 개념과 원리를 물어보는 문제들을 수 십 문제, 수 백 문제 풀 필요는 없습니다. 그것은 시간낭비가 될 수 있습니다. 개념을 정확하게 이해를 했고 그 개념을 이해했는지 적절하게 응용할 수 있는지 물어보는 몇 개의 기본 문제들을 풀 수 있다면 문제풀이를 더 하는 것은 큰 의미가 없습니다.

그러면 수학 과목에서 무엇을 공부해야 하는지에 대한 기준이 분명히 서 있다면 엄마도, 아이도 서로 그렇게 고생할 이유가 없는데요. 우선 수학은 "약속"을 공부하는 과목입니다. 수학 공부가 어떤 것인지에 대해 기준을 정확하게 세워두면 많은 것들이 편해진다는 것을 경험하게 될 것입니다. 아이들은 수학의 여러가지 개념들을 배울 때 "왜 이것을 이렇게 쓰지?"하고 이해를 온전히 못할 때가 많습니다. 그리고 그것을 이해하지 못하면 문제를 풀 때마다 헷갈리고 틀리는 경우가 많은데요. 예를 들어 대분수라는 개념을 배우는데 어떤 경우에는 대분수 3과 6분의 5에서 자연수 3옆에 왜 분수를 붙이냐고 궁금해하는 아이들이 있습니다. 아이가 이렇게 질문할 경우 부모님께서는 최선을 다해 설명해주려 합니다. 어떻게든 아이를 이해시키고 싶기 때문인데요. 그런데 개념과 원리에 대해 부모님도 긴가민가 헷갈리는 경우 설명하고자 하는 욕구를 일단은 누르고 아이와 함께 교과서를 같이 꺼내어 교과서에서 답을 찾아보는 활동을 친구나 동료와 같이 공부하듯 하는 것이 좋습니다. 수학은 대충 공부하면 안 되는 과목이기 때문입니다. 그래서 오개념이 머릿속에 들어오면 안되고, 답을 찾아보려는 활동 자체가 완전학습의 기본 자세입니다. 질문에 대한 궁금증을 해결해보는 활동 자체가 완전학습을 완성시켜주는 피와 살이 되는 필수요소가 됩니다.

엄마표 학습에서는 엄마가 가르치는 존재가 아니라 같이 노력하는 동료, 코치, 멘토 역할을 해야 한다는 점을 기억하실 것입니다. 따라서 내용을 가르치려 하지 마시고 같이 해결책을 찾아간다는 동료의 느낌으로 "엄마는 교과서에서 이렇게 찾았고, 이렇게 이해했는데 넌 어떠니 ?"하는 느낌으로 서로의 완전학습을 완성해가는 파트너이자 코치 역할을 엄마가 해주신다면 좋습니다. 대분수 3과 6분의 5를 그렇게 쓰는 이유는 애초에 왼쪽 부분을 자연수로 표현하자고 수학자들이 약속했기 때문에 그렇습니다. 자연수를 이용해서 대분수라는 개념을 만들고, 대분수는 '자연수+진분수'로 표현하자고 약속한 것입니다. 수학은 약속을 잘 배우는 과목인 점을 아이가 이해하게끔 도와주면 좋습니다. 이와 같이 수학이라는 과목이 무엇을 공부하는지 교과서가 왜 그렇게 쓰여 있는지에 대한 근거를 납득하면 아이가 수학 개념을 머릿속에 받아들이는 일이 훨씬 수월해질 수 있습니다.

수학을 공부하는 것이 약속을 공부한다는 것을 더 확장해보면 수학은 개념과 원리를 정확하게 이해해야 하는 과목임을 이해할 수 있습니다. 시중에 개념원리 수학 브랜드가 여전히 인기가 많은데요. 수학 브랜드를 개념원리라고 이름 지은 이유가 있는 것입니다. 그것이 수학에서는 매우 중요하기 때문입니다. 수학실력은 개념을 얼마나 정확하게 이해하고 있는지에 따라 비례합니다. 문제풀이만 많이 한다고 해서 잘 할 수 없는 과목입니다. 따라서 초등수학부터 문제풀이로 달리지 말고, 개념과 원리 위주로 공부하는 습관을 들이는 것이 좋겠습니다.

그럼 수학 개념을 공부한다는 것은 무슨 의미일까요 ? 그것은 수학 개념의 정의를 이해하는 학습활동을 하는 것입니다. 초등수학 과정에서는 수학 개념들이 중고등 과정에 비해 아주 적게 나오긴 하지만 그럴수록 교과서에서 수학개념이 설명되는 부분이 나오면 눈을 부릅뜨고 집중해서 필요하다면 형광펜으로 별표를 쳐서 밑줄을 치던가 하는 방식으로 개념을 이해하는데 초점을 맞출 수 있는 메타인지가 있어야 한다는 것입니다. "아! 이것이 지금 개념의 정의 부분이니까 중요한거야."라는 직관적인 생각을 할 수 있어야 합니다.

홀수와 짝수에 대해 설명하는 부분이 나오면 이것이 바로 수학개념을 설명하는 부분입니다. 개념을 유일하게 만들어주는 정의를 가지고 있는데요. 따라서 홀수와 짝수가 무엇인지를 설명해주는 정의를 이해하고 기억하는 것이 수학공부법 중 하나가 됩니다. 짝수는 둘씩 짝을 지을 수 있는 수이고, 홀수는 둘씩 짝을 지을 수 없는 수입니다. 이렇게 개념의 정의들을 이해해야 하고 누군가 "짝수가 뭐야?"하고 물어보았을 때 정의를 자신의 말로 표현할 수 있어야 합니다. 짝수나 홀수 같은 것을 물어보는 초등학교 레벨에서는 이것이 너무 쉬워보일 수 있어도 개념들이 많아지고 확장되고 복잡해지게 되는 고등레벨로 가면 이런 개념들을 철저하게 학습하는 습관이 하늘과 땅 만큼 차이나는 수학실력 격차를 만들어 냅니다. 말로 설명할 수 있는 공부를 하느냐 여기서 격차가 벌어지기 시작합니다. 문제를 얼마나 많이 푸느냐가 중요한 것이 아닙니다.

'두 변의 길이가 같은 삼각형을 이등변삼각형이라 합니다.'와 같은 설명이 교과서에서 나오면 이것이 개념의 정의를 설명하는 것이구나하며 머릿속으로 인지하고, 보통 이상의 주의를 이 개념 정의를 이해하는데 쏟아야 합니다. 수학의 개념들은 이와 같은 예처럼 한자어로 되어 있는 경우가 많기 때문에 한자어 각각의 뜻을 깊게 한번 파고드는 활동도 해야 합니다. 이등변(二等邊)은 길이가 동일한 변이 두개가 있다는 뜻이니까 길이가 동일한 두 변이 있는 삼각형이라고 해석할 수 있습니다. 비슷한 맥락에서 기약분수(旣約分數)라는 개념에 대해 배울 때 한자어 기는 이미라는 뜻이고, 약은 나누어졌다라는 뜻이므로 기약분수가 이미 약분이 된 분수라는 한자어 뜻을 가지고 있다는 것을 알게 되면 그것이 분모와 분자의 공약수가 1뿐이라서 더 이상 약분이 되지 않는 분수라는 개념적인 의미를 더 잘 이해할 수 있게 됩니다. 핵심은 한자어로 된 수학용어를 한 글자씩 분해해서 각각의 한자어가 가지는 뜻과 개념적 정의를 비교하여 이해를 더욱 깊게 해보는 것입니다.

개념과 쌍벽을 이루는 또 하나의 학습내용은 원리라는 것입니다. 교육학자 메릴은 학습자가 공부해야 할 내용의 종류를 4가지로 분류해줍니다. 바로 사실, 개념, 절차, 원리인데요. 원리는 개념을 기반으로 어떤 것이 왜 그렇게 되는지에 대한 설명을 의미합니다. 두 자리 수의 크기를 비교하는 절차는 10의 묶음개수를 비교해보고 10의 묶음개수가 더 크거나 작은 쪽이 더 큰 수이거나 더 작은 수가 된다고 판단할 수 있고, 만약 10의 묶음개수가 같다면 낱개를 비교해서 낱개가 크거나 작은 쪽이 더 큰 수 혹은 작은 수가 된다고 판단 내립니다. 그리고 이런 절차대로 왜 하게 되는지를 설명하는 것이 원리입니다. 그래서 원리를 말로 설명할 수 있어야 합니다. 두 자리 수의 크기를 이런 절차로 비교하게 되는 원리는 10의 묶음개수가 크거나 작은 쪽의 수가 결국 더 큰 수 이거나 작은 수이고 10의 묶음개수가 동일할 경우에는 낱개의 수가 더 크거나 작은 쪽이 결국 더 큰 수이거나 작은 수라는 것입니다.

또, 초등수학에서 반 이상을 차지하는 것은 숫자 연산이고, 대부분 학생들이 직관적으로 연산 문제를 풀고 있습니다. 직관적으로 연산 문제를 푼다는 것은 원리를 말로 설명하지는 못하고 그냥 기계적으로 풀이 방법을 익혀서 푸는 정도에 그치고 있습니다. 초등수학에서의 목표 하나가 능숙한 연산감각을 얻는 일이기는 하지만, 수많은 종류의 연산들의 풀이방법을 이런 식으로 공부하게 되면, 연산 자체는 기계처럼 할 수 있겠지만 수학 실력이 늘어나는 것은 아닙니다. 따라서 여러가지 종류의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 배울 때 왜 계산을 그렇게 할 수 있는지에 대한 원리를 학습해야 합니다. 계산 방법을 외워서 하는 것이 아니라 왜 그렇게 계산하는 것인지에 대한 원리를 설명할 수 있어야 합니다.

특히 분수, 소수, 연산은 모두 원리로 설명할 수 있어야 하는데요. 그림을 그려서 원리를 설명할 수 있어야 합니다. 원리가 머릿속에 뿌리잡고 있어야 수많은 종류의 분수, 소수의 연산들을 풀 때 괴로움을 경험하지 않게 됩니다. 쉽게 말해 어떤 연산 문제를 풀 수 있는지가 중요한 것이 아니고, 그 연산 문제를 '왜 그런 식으로 풀 수 있는 것인가?'라는 질문에 아이들이 대답할 수 있어야 합니다. 이것을 대답할 수 있는지 없는지에 따라 수학을 잘할지, 1등급에 도전할 자격이 될지 차이가 발생하는 것입니다. 예를 들어 5분의 4 나누기 3분의 2를 계산할 때 왜 이 분수의 연산이 5분의 4 곱하기 2분의 3으로 계산할 수 있는지 그 원리를 설명할 수 있어야 하는 것입니다. 그 원리를 설명하자면, 물 5분의 4리터를 빈 통에 담으니까 통의 3분의 2가 찼는데, 통의 3분의 2를 채울 수 있는 물을 2로 나누어주어서 5분의 2리터가 되고, 한 통을 가득 채울 수 있는 물의 양은 3배를 해주어야 하므로, 5분의 2에 3을 곱해 5분의 6리터가 되는데, 이것이 5분의 4 곱하기 2분의 3의 계산 결과와 동일하게 되는 것이므로 5분의 4 나누기 3분의 2라는 연산이 5분의 4 곱하기 2분의 3과 같습니다 하고 설명할 수 있어야 합니다.

이 모든 설명은 교과서에 나오는 설명이라서 교과서만 충실하게 공부한다면 이런 원리에 대한 이해를 할 수 있습니다. 또 비슷한 예를 들자면, 4.2 나누기 3을 계산하는데 3가지 방법이 있고, 그 방법을 설명으로 풀어낼 수 있을 정도로 이해하고 암기되어 있어야 합니다. 방법 3가지는 첫 번째로 자연수처럼 계산하고 소수점을 맞춰주는 방법이 있고, 두 번째로 4.2를 10을 분모로 하는 분수로 바꿔서 분수 나눗셈으로 바꿔서 푸는 방법이 있고, 세 번째로 세로로 계산하는 법이 있다는 것이 머릿속에 심어져 있어야 합니다. 여기까지 정리한 글 읽어주셔서 감사드리고, 조금이나마 도움이 되셨으면 좋겠습니다. ♥