엄마표 학습 - 수학공부전략2 개념간의 연계 및 조직화 전략 활용

여러가지 종류의 다각형 넓이를 구하는 것을 배울 때 넓이 공식을 무작정 외워서 푸는 것이 아니라, 어떤 원리에 의해서 그런 공식이 유도되었는지를 설명할 수 있어야 합니다. 수학을 잘 하려면 원리와 개념 학습을 깊게 반복적으로 하는 가운데 공식이 자연스럽게 외워져야 하는 것이고, 언제든지 필요한 경우에는 원리를 기반으로 공식을 유도할 수 있어야 합니다. 예를 들어 사다리꼴의 넓이 공식은 (윗변+아랫변)*(높이)/2 입니다. 이 공식이 왜 이렇게 나왔는지 원리를 설명할 수 없다면 수학 학습이 완전히 이루어진 것이 아니라는 것입니다. 공식이 이렇게 나온 원리는 합동의 사다리꼴을 180도 돌려서 옆으로 붙이면 평행사변형이 되는데, 사다리꼴의 넓이가 이렇게 만들어진 평행사변형의 절반이라는 것을 알 수 있고, 평행사변형의 넓이는 (밑변)*(높이)이며, 이 때 밑변은 사다리꼴의 윗변과 아랫변을 더한 것이므로 이 사다리꼴의 넓이는 (윗변+아랫변)*(높이)/2가 나오는 것입니다. 또는 사다리꼴에 대각선을 그어서 사다리꼴을 두 개의 삼각형으로 나누고, 각각의 삼각형의 넓이를 구해도 역시 같은 결과를 얻을 수 있다는 원리를 이해하고 알고 있어야 합니다.

수학과목은 개념과 원리를 공부하는 것이 80%를 차지한다고 말해도 과언이 아닙니다. 개념과 원리에 집중할수록 상위권에 가까워진다는 것을 기억할 필요가 있습니다. 그러나 초등수학에서는 이것이 꼭 맞는 말은 아닌데요. 초등수학은 중고등수학을 잘 공부하기 위해 준비시켜주는 단계이기 때문입니다. 그래서 중고등으로 갈수록 개념, 원리가 더 중요해지지만, 초등수학에서는 숫자에 대한 감각을 키우는 것도 중요한 과제 중의 하나라는 것을 이해할 수 있습니다. 이게 무슨말이냐면 18, 24, 30과 같은 숫자들의 약수가 바로 머릿속에 떠올라야 한다는 것입니다. 그래서 아이가 이 숫자들을 18 : 2x9, 3x6 / 24 : 2x12, 3x8, 4x6 / 30 : 2x15, 3x10, 5x6 과 같이 분해해서 표현할 수 있어야 합니다. 어떤 숫자가 어떤 수들의 곱으로 이루어져 있는가를 직관적으로 바로 알 수 있어야 하고, 이것이 바로 숫자감각이라고 하는 것인데요. 숫자들을 자유자재로 분해했다가 합쳤다가하는 직관적인 능력을 숫자감각이라 하는 것입니다. 이렇게 숫자를 분해하는 능력은 나중에 소인수분해, 인수분해, 2차방정식 등을 해결하는데 중요한 기반능력이 되기 때문에 초등수학 과정에서 숫자감각은 아이가 훈련을 통해 반드시 익혀야하는 능력 중 하나입니다.

아이들에 따라 자연스럽게 숫자감각을 익히는 것을 어려워하는 아이들이 있습니다. 이것은 타고난 성격과 지능 때문이라서 어쩔 수 없는데요. 처음에 학교에서 칠판에 쓰여진 숫자를 접하고서 그것이 의미있는 숫자가 아니라 그림으로 해석하는 아이들이 이 세상에는 훨씬 많습니다. 따라서 아이가 교과서만을 가지고 능숙한 연산수행이 되지 않는다고 판단된다면 아이와 합의하여 따로 연산문제집을 가지고 꾸준히 연산연습을 수행해보는 일은 중등수학에 들어가기 전에 수학적 기초를 위해 분명히 도움이 되는 일입니다. 요즘은 체계적으로 연산연습을 수행할 수 있도록 도움을 주는 문제집들이 아주 많아서 문제집들의 올바른 선택, 적정한 시간 확보, 그리고 아이와 합의만 잘 된다면 숫자감각을 키우는데에 큰 문제가 없을 것입니다.

공부한 내용이 이해도 잘되고 기억도 잘되려면 자신에게 의미가 있어야 하는데요. 자신에게 무의미하면 이해하고 싶지도 않고, 기억하고 싶지도 않기 때문입니다. 그래서 학습내용을 자신에게 인위적으로라도 의미있게 만들어서 공부하라는 것이 유의미화 학습전략입니다. 수학공부에 있어서 유의미화 전략 2가지를 활용해볼 수 있는데요. 그 중 한 가지는 실물을 적극적으로 활용해서 수학개념이 더 유의미하게 이해되도록 하는 전략입니다. 예를 들어 이등변 삼각형에 대해 배울 때 이 삼각형의 특성 중 하나가 양끝각이 동일하다는 것을 배웁니다. 그런데 수학을 이렇게 배우면 자신에게 별로 의미가 없습니다. 그리고 의미가 없으면 머릿속에 잠깐 들어왔다가 쉽게 사라집니다. 따라서 이런 학습내용을 자신에게 더 의미있게 만드는 방법은 직접 이등변삼각형을 종이로 만들어보고, 진짜 양끝각이 동일한지, 종이로 만든 실물 삼각형을 반으로 포개어 눈으로 확인해보는 것입니다. 이렇게 실물을 활용하여 손과 눈을 이용해서 양변의 끝각이 진짜 동일한지 확인이 되면 이 학습내용이 자신에게 더 유의미해지기 때문에 추상적인 수학의 개념이 좀 더 실제적으로 이해될 수 있습니다.

또 다른 예로 초등5학년 수학에서는 선대칭도형과 점대칭도형을 배웁니다. 선대칭도형은 한 직선을 따라 접었을 때 완전히 겹치는 도형을 의미합니다. 그래서 선대칭도형은 굳이 종이로 만들어보지 않아도 머릿속에서 상상이 됩니다. 이 도형이 반으로 접혔을 때, 완전히 겹칠 것이라는 것을 상상하는게 그리 어렵지는 않습니다. 그런데 점대칭도형은 머릿속에서 잘 상상이 안됩니다. 점대칭도형은 어떤 점을 중심으로 180도 돌렸을 때, 처음 도형과 완전히 겹치는 도형을 의미합니다. 그런데 공간지능을 타고나지 않은 아이들 입장에서는 180도를 머릿속에서 돌린다는 것이 잘 상상이 안됩니다. 따라서 이런 학생들은 점대칭도형들을 직접 종이로 만들어보고 실제로 손을 사용해서 180도 돌려보는 활동을 해보면, 점대칭도형이라는 추상적인 도형이 손에 잡히는 실제로 대칭중심으로 돌려본 경험을 하게 되므로 이것이 유의미하게 이해되고, 따라서 블룸 선생님께서 말씀하신 완전학습에 필요 학습활동인 기억하기와 이해하기가 더 잘 해결이 된다는 것입니다. 이런 맥락에서 2015년 개정 수학 교과서는 무척 잘 만들어져 있는데요. 교과서 뒷 부분을 보면 실제적인 연습을 할 수 있도록 도와주는 준비물들이 있어서 도형을 손으로 만지작거리면서 이리저리 돌려보는 활동을 할 수 있습니다.

두 번째 유의미화 전략은 한자어로 표현된 수학개념들을 공부할 때, 한자어해석을 해보고 그 수학개념을 자기 스타일로 해석해서 새롭게 이해해보는 것입니다. 이것을 교육학에서는 지식의 재구성이라 표현하고, 대부분의 선진적인 교육들은 지식을 학습자의 머리에 주입하는 것이 아니라, 학습자가 스스로 지식을 재구성할 수 있도록 도와주는 활동이 주가 되도록 구성되어 있습니다. 그래서 이런 교육방식은 지식을 학습자가 잘 구성할 수 있도록 도와준다고 하여 구성주의라고 부르기도 하는데요. 예를 들어 진분수와 가분수라는 개념을 배울 때 이 개념들이 한자어로 표현되어 있으므로 한자어 뜻을 해석해보는 것입니다. 한자어의 의미대로 직역해보면 진분수는 진짜 분수라는 뜻이고, 가분수는 가짜 분수라는 뜻인데요. 진분수라는 개념의 정의는 분모가 분자보다 큰 분수, 가분수는 분자가 분모보다 같거나 큰 분수입니다. 그렇다면 여기서부터 자신만의 재해석을 해보는 것입니다. 재해석에 정해진 답은 없습니다. 지식의 재구성이라는 개념 자체가 주관적인 것인데요. 개념을 잘못 이해하지만 않는다면, 어떻게 재구성을 하든 자신의 자유입니다. 예를 들어 저는 이렇게 지식의 재구성을 해봅니다. 분모는 엄마를 의미하고 분자는 아들을 의미하는데, 분수는 엄마가 아들을 위로 업고있는 식입니다. 그래서 진짜 분수는 아들이 엄마보다 커서는 안되는데요. 아들이 엄마보다 크면 엄마머리 위에 아들을 들고있기가 힘이 듭니다. 만약 아들이 엄마와 크기가 같거나, 엄마보다 크다면 그런 분수는 가짜 분수입니다. 이런 식으로 자신만의 상상을 해서 진분수와 가분수의 개념에 대해 재해석해 보았습니다. 이런 활동을 했을 때에 개념들이 자신에게 더 유의미하게 다가오고 지식이 새롭게 구성되므로, 훨씬 이해도 잘되고 기억에도 잘 남게 됩니다. 아이들은 상상력이 뛰어나기 때문에 수학개념들을 자기만의 방식으로 상상해서 재해석해보는 활동을 놀이식으로 가이드해준다면, 딱딱한 수학개념을 아이들이 조금이나마 말랑말랑하게 받아들이는데 도움이 될 것입니다.

수학과목은 다른 모든 과목들 중에서 조직화 활동을 가장 철저하게 해야만 하는 과목입니다. 조직화를 잘 해놓지 않으면 학교에서 배운 개념들이 점점 많아지면서 그것들이 머릿속에서 뒤죽박죽이 됩니다. 머릿속이 뒤죽박죽이 되면 이해가 모호해지고, 이해가 모호해지면 나중에 모호한 점수가 나오게 됩니다. 개념들은 명확하고 분명하게 분류되어야 하고, 서로 연계가 되어 있어야 합니다. 수학과목에서 조직화 전략을 절대적으로 잘 활용해야하는 이유는 다른 과목들에 비해 학습내용의 계통성이 매우 강조되는 과목이기 때문입니다. 이것을 좀 더 쉽게 이해해보자면, 국어나 영어과목은 공부를 한동안 등한시했다고 하더라도 다시 공부를 시작하면 어느정도 쉽게 공부를 따라잡을 수가 있는데요. 그런데 수학은 수포자도 많습니다. 수학은 한번 놓치면 영원히 놓치게 되는 과목입니다. 어느 부분에서 공부를 안했다, 막혔다 싶으면 그 뒤부터 막히는 것이 수학입니다. 왜냐하면 수학은 앞부분을 이해하지 못하면, 뒷부분을 이해할 수 없는 과목이기 때문입니다. 수포자 60%가 나오는 이유는 현 교육시스템 아래에서 수학은 잘 공부할 수 있는 확률보다 망가질 확률이 더 높기 때문입니다.

앞서서 숫자감각에 대해 언급했었는데요. 숫자를 합쳤다가 분해했다가 하는 숫자감각이 없으면, 소인수분해를 못하게되고, 분수연산을 못하게되고, 또 인수분해를 못하게 되어서 나중에는 이차방정식을 못풀게되고, 완전제곱식을 활용해서 근의 공식을 스스로 유도해낼 수가 없습니다. 수학은 계통적으로 각 학습내용들이 연계되어 묶여있기 때문에 앞에서 제대로 하지 않으면, 뒤에 있는 것들은 이해되지 않기 때문에 사실 할 필요가 없습니다. 따라서 수학 수업시간에 선생님의 설명을 알아듣지 못하고 그냥 교실에 앉아있는 아이들이 안타깝습니다. 현행조차 못따라가는 아이들이 대략 84%라고 하는데, 이런 맥락에서 조직화전략을 잘 사용하는 것이 중요합니다. 예를 들어, 초등수학에서 다섯가지 종류의 사각형에 대해 배웁니다. 각각 사다리꼴, 평행사변형, 마름모, 직사각형, 정사각형인데요. 이들 도형들에 대해 배울 때, 개념들을 이해만 하는 것이 아니라 이들 도형들에 대해 조직화를 해서 개념들간의 연계정보를 파악해서 학습하는 활동이 필요합니다. 이것을 하지 않으면 상위권에 가기가 어렵습니다.

예를 들어 평행사변형은 사다리꼴인가요 ? 사다리꼴은 평행사변형인가요 ? 마름모는 평행사변형인가요 ? 마름모는 정사각형인가요 ? 직사각형은 마름모인가요 ? 와 같은 질문에 대답하기 어렵습니다. 모두 사각형에 해당하는 도형들이지만, 위계가 존재합니다. 어떤 개념은 다른 개념들보다 위계가 높아서 다른 개념들을 포함하고 있는 것입니다. 마치 아시아인이라는 개념이 일본사람, 중국사람, 한국사람 모두를 포함하고 있어서 위계가 높은 개념인 것과 마찬가지입니다.

먼저 평행사변형과 사다리꼴의 위계를 비교해보겠습니다. 평행사변형의 정의는 마주보는 두 쌍의 변이 서로 평행한 사각형입니다. 사다리꼴은 마주보고 서로 평행한 변이 한 쌍이라도 있는 사각형입니다. 그렇다면 사다리꼴이 평행사변형을 포함하고 있기 때문에 위계가 더 높은 개념이 됩니다. 따라서 사각형이라는 가장 높은 위계의 개념과 이들의 위계를 조직화해서 사각형 - 사다리꼴 - 평행사변형과 같이 조직화 할 수 있습니다. 그럼 오른쪽에서 부터 위계확인을 할 수 있습니다. 평행사변형은 사다리꼴이고, 사다리꼴은 사각형입니다. 그러나 사각형은 반드시 사다리꼴인 것은 아니고, 사다리꼴도 반드시 평행사변형은 아닙니다. 그렇다면 첫 번째 질문인 평행사변형은 사다리꼴인가요 ? 라는 질문의 답은 그렇다는 것입니다. 두 번째 질문인 사다리꼴은 평행사변형인가요 ? 라는 질문의 답은 그렇지않다는 것입니다. 왜냐하면 한쌍만 평행인 변을 가진 사다리꼴들은 평행사변형이 될 수가 없기 때문입니다.

그럼 다음으로 마름모와 평행사변형의 위계를 알아보겠습니다. 마름모의 정의는 네 변의 길이가 같은 사각형입니다. 그리고 마름모는 마주보는 두 쌍의 변들이 모두 평행합니다. 즉, 마름모는 평행사변형의 정의에도 부합하는 도형입니다. 다시 말해 평행사변형이 마름모를 포함하는 더 높은 위계의 개념입니다. 따라서 조직도를 확장해서 사각형 - 사다리꼴 - 평행사변형 - 마름모로 할 수 있습니다. 즉, 마름모는 평행사변형이고, 그 반대는 아닌 것입니다. 그럼 세 번째 질문인 마름모는 평행사변형인가요 ? 라는 질문에 대한 답은 그렇다는 것을 알 수 있습니다.

다음으로 마름모와 정사각형의 위계에 대해 살펴보겠습니다. 정사각형은 네 변의 길이와 네 각이 모두 같은 사각형입니다. 따라서 정사각형은 마름모의 특성도 가지고 있음을 알 수 있습니다. 즉, 정사각형은 마름모인 것입니다. 마름모가 정사각형보다 더 높은 위계의 개념이 됩니다. 따라서 조직도는 사각형 - 사다리꼴 - 평행사변형 - 마름모 - 정사각형이 되겠습니다. 네 번째 질문인 마름모는 정사각형인가요 ? 라는 질문에 대한 답은 아니라는 것입니다. 정사각형이 마름모가 되지 마름모가 정사각형이 되지는 않습니다.

이제 마지막 직사각형이 남았습니다. 직사각형을 이 조직도의 어느 부분에 붙일 것인지가 난이도가 가장 높습니다. 이렇게 학습내용을 살펴보면서 조직화하는 활동을 하였을 때, 완전학습이 점점 완성되는 것입니다. 고생한 만큼 우리의 뇌가 점점 정교해지는 것입니다. 그러면 직사각형은 어디에 붙일 수 있는지 살펴보겠습니다. 직사각형과 마름모의 위계를 먼저 비교해보겠습니다. 직사각형은 네 각이 모두 직각으로 같은 사각형을 말합니다. 그렇다면 직사각형과 마름모는 서로 포함하는 개념이 아닙니다. 직사각형이 마름모가 아니고, 마름모도 직사각형이 아닙니다. 개념학습의 기본 중 하나는 이렇게 개념들 간의 비교 및 구분을 명확하게 해야 합니다. 이 경우에 개념들 하나하나 비교해보면서 어디에 붙일지 판단해보아야 합니다. 우리 뇌는 어떤 정보가 들어왔을 때 지금 이렇게 하는 것처럼 그 정보를 어디에 붙일지 판단하려고 합니다. 그 정보가 우리 뇌의 어딘가에 붙지 않으면, 이해를 못한다는 뜻이기도 합니다. 또 붙지 못하면 금새 사라집니다. 그럼 직사각형과 사다리꼴을 비교해보겠습니다. 직사각형은 사다리꼴입니다. 사다리꼴이 더 높은 위계라는 의미입니다. 그렇다면 직사각형은 평행사변형일까요 ? 그렇습니다. 직사각형은 평행한 두 변 모두 평행하므로, 평행사변형입니다. 그럼 정사각형은 직사각형일까요 ? 그렇습니다. 정사각형은 직사각형에 포함되는 개념입니다. 그럼 직사각형의 위계는 평행사변형과 정사각형 사이에 와야 하는데, 마름모와는 관련이 없기 때문에 독립적으로 존재한다는 것을 알 수 있습니다.

따라서 마름모 위치에 독립적으로 직사각형을 넣을 수 있습니다. 이렇게 조직화 전략을 활용해서 학습내용을 조직화하게되면 개념들 사이 위계가 분명해지기 때문에 머릿속에서 긴가민가하는 모호함이 사라지고 선명함이 남게됩니다. 개념들 사이의 구분이 분명하게 선이 그어져서 아이가 개념구분의 모호함으로 인한 혼동스러움을 겪지 않게 됩니다. 그리고 이것이 공부 잘하는 학생들의 특성이기도 합니다. 비슷한 맥락에서 최대공약수, 약분, 최소공배수, 통분이라는 개념들이 서로 어떻게 연계되는지에 대한 정보를 찾고 확인하는 것도 역시 조직화 전략의 예입니다. 이런 개념들을 공부할 때, 직관적으로 이것들을 조직해야겠구나 하는 느낌이 들어야 합니다. 수학을 공부할 때에는 조직화 전략을 잘 활용해서 학습내용들 사이의 위계 및 연계정보를 확인하고 분명히 하는 작업을 반드시 하는 것이 좋습니다. 여기까지 정리한 내용 읽어주셔서 감사드리고, 조금이나마 도움이 되셨으면 좋겠습니다. ♥